Jag tycker att du ska försöka se alla de "typiska" turistmålen som du kan läsa om på wikipedia. Ingen speciell idé för mig att lista dom här utan det kan du hitta själv.
Det absolut trevligaste badhuset är Széchenyi badet och det skall helst besökas vintertid på morgonen eller kvällen. Känslan att sitta utomhus i det ångande vattnet medan det snöar går inte av för hackor!
Vad gäller restauranger tycker jag ni ska undvika turistområdet i distrikt V runt Váci Utca och slottsområdet i Buda.
En av mina favoritrestauranger är Don Pepe som är en pizzeria/restaurang med grymma pizzor och även annan mat. Finns många i Budapest bland annat en vid den västra tågstationen (Nyugati pályaudvar).
Castro Biztro som ligger på Madách Imre tér precis bredvid Deák tér är också trevlig. Bra priser och fin goulash soppa har dom.
Det finns en stor utomhusmarknad där man kan hitta mycket billigt. Den kallas "kinesmarknaden" eller Kínai Piac och ligger i distrikt VIII, det är bara säga detta till taxichauffören.